A Normal Monoguy

ทุกครั้งที่ผมไปรอหน้าห้องอาจารย์ที่ปรึกษา ผมมักพบคำถามทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจอยู่เสมอ บังเอิญว่าวันนี้ผมต้องรอนานหน่อยก็เลยมีเวลาได้ดูคำถามที่อาจารย์เขียนไว้ถามนิสิต ป.ตรี ที่เพิ่งเรียนแคลคูลัสครั้งแรก เห็นว่าน่าสนใจดี ก็เลยเอามาฝากครับ คิดว่าทุกคนคงเคยเห็นสูตรต่อไปนี้

สำหรับจำนวนนับ $n$ ใดๆ จะได้ว่า  $1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$     $\cdots(0)$  คราวนี้ผมก็จะเอาสูตรนี้มาใช้ครับ โดยให้ $k$ เป็นจำนวนนับตั้งแต่หนึ่งเป็นต้นไป จะได้ว่า

$1+2+3+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2}$     $\cdots(1)$

แต่ถ้าผมใช้สูตรนี้กับจำนวนนับ $(k-1)$ จะได้

$1+2+3+\cdots+(k-1) = \frac{[(k-1)][(k-1)+1]}{2}=\frac{k(k-1)}{2}$     $\cdots(2)$

ดังนั้น ถ้าเราบวกทั้งสองข้างของสมการที่ $(2)$ ด้วย $1$ เราก็จะได้

$1+2+3+\cdots+(k-1) + 1 =\frac{k(k-1)}{2}+1$     $\cdots(3)$

ในขณะเดียวกัน จากกลุ่มซ้ายสุดของสมการด้านบนนี้ เราก็ได้อีกว่า

$1+2+3+\cdots+(k-1)+1 = 1+2+3+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2}$     $\cdots(4)$

แต่อย่างไรก็ตาม เราพบว่า $\frac{k(k-1)}{2}+1$ จากสมการที่ $(3)$ ไม่ได้เท่ากับ $\frac{k(k+1)}{2}$ จากสมการที่ $(4)$ ทุกๆ $k$ ซะหน่อย ดังนั้นที่ผ่านมาจะต้องมีที่ผิด แล้วที่ผิดอยู่ที่สมการไหนล่ะ